题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

1

3

≤x≤

2

3

，则
（1）1-x的取值范围是[

1

3

，

2

3

]；
（2）x（1-x）的取值范围是[

1

9

，

4

9

]．
以上命题是否正确，若错误予以纠正；若正确，请予以证明．

答案

（1）该命题正确．
∵

1

3

≤x≤

2

3

，∴-

2

3

≤-x≤-

1

3

．∴

1

3

≤1-x≤

2

3

，
即1-x的取值范围是[

1

3

，

2

3

]．
（2）该命题是假命题．
∵x（1-x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

在[

1

3

，

1

2

]上单调递增，在[

1

2

，

2

3

]上单调递减．
∴当x=

1

2

时，取到最大值是

1

4

；当x=

1

3

或

2

3

时，取到最小值

2

9

，
故x（1-x）的取值范围是[

2

9

，

1

4

]