题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

(本小题满分14分)
若函数 (a，b∈R)，且其导函数f′ (x)的图象过原点．
(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的图象在x=3处的切线方程；
(Ⅱ)若存在x<0使得f′ (x)=－9，求实数a的最大值．

答案

(Ⅰ) 3x－y－8="0." (Ⅱ) a的最大值为．

解析

第一问，根据导函数图象过原点得b=0,然后就可以求出切线方程；第二问分离出参数a利用基本不等式可以得到a的最大值或者根据一元二次方程根的分布求出a的最大值。
解：，f′ (x)=x²－(a+1)x+b，         ……1分
由f′ (0)=0得 b=0，f′ (x)=x(x－a－1).                                ……3分
(Ⅰ)当a=1时, ，f′ (x)=x(x－2)，f(3)=1，f′ (3)=3.    ……5分
所以函数f(x)的图像在x=3处的切线方程为y－1=3(x－3)，             ……6分
即3x－y－8=0.                                                   ……7分
(Ⅱ)存在，使x<0得f′ (x)=x(x－a－1)=－9，
，a≤－7，       ……10分
当且仅当x=－3时，a=－7．                                       ……12分
所以a的最大值为－7．                                           ……14分
(Ⅱ)另解：由题意“存在x<0，使得f′ (x)=x(x－a－1)=－9”有
方程x²－(a+1)x+9=0有负数根．                                  ……8分
又因为两根之积等于9>0，所以两根均为负数．                     ……10分
则                                   ……12分
解得a≤－7，                                                  ……13分
所以a的最大值为．                                         ……14分