题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)已知A≠∅,若f(x)是在R上单调递增函数,是否有A=B?若是,请证明.
(2)记|M|表示集合M中元素的个数,问:(i)若函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若|A|=0,则|B|是否等于0?若是,请证明,(ii)若|B|=1,试问:|A|是否一定等于1?若是,请证明.
答案
任取x0∈A,则f(x0)=x0,f(f(x0))=f(x0)=x0,
∴x0∈B,∴A⊆B;
再证 任取y0∈B,f(f(y0))=y0,
若f(y0)≠y0,不妨设f(y0)>y0,
由单调递增可知:f(f(y0))>f(y0)>y0,与f(f(y0))=y0矛盾,
同理f(y0)<y0也矛盾,所以f(y0)=y0,∴B⊆A,
综上,A=B.
(2)(i)若|A|=0,则|B|=0,下面证明:
若a>0,由于f(x)=x无实根,则对任意实数x,f(x)>x,从而f(f(x))>f(x)>x,
故f(f(x))=x无实根;
同理,若a<0,对任意实数x,f(x)<x,从而f(f(x))<f(x)<x,
故f(f(x))=x也无实根,
所以|B|=0.
(ii)若|B|=1,则|A|=1,下面证明:
存在性:不妨设x0是B中唯一元素,则f(f(x0))=x0,
令f(x0)=t,f(t)=x0,那么f(f(t))=f(x0),而f(x0)=t,故f(f(t))=t,说明t也是f(f(x))的不动点,
由于f(f(x))只有唯一的不动点,故x0=t,即f(t)=t,这说明t也是f(x)的不动点,从而存在性得证;
以下证明唯一性:若f(x)还有另外一个不动点m,即f(m)=m,m≠t,
则f(f(m))=f(m)=m,这说明f(f(x))还有另外一个稳定点m与题设矛盾.
故唯一性得证.
核心考点
试题【已知函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”;若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.记集合A={x|f(x)=x},B={x|f】;主要考察你对集合运算等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.{3} | B.{1,3,4} | C.{2,3,4} | D.{1,2,3,4,} |
1 |
2 |
1 | ||
|
A.{x|x>1} | B.Ø | C.{y|y≥1或y≤-1} | D.{x|x≥1} |
A.M∩N∈M | B.M∪N⊆M | C.(CUM)∪N=Φ | D.(CUN)∩M⊆M |
A.(0,1] | B.[-1,0) | C.[-1,1] | D.∅ |
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