题目

题型：解答题难度：一般来源：专项题

已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P。
（1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性质P？并说明理由； （2）若集合S具有性质P，试判断集合T={（2n+1）-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由。

答案

解：（1）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P。
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b₁=10与b₂=10+m，使得|b₁-b₂|=m成立。 集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）具有性质P。
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c₁=3k₁-1，c₂=3k₂-1，k₁，k₂∈N*都有|c₁-c₂|=3|k₁-k₂|≠1。
（2）若集合S具有性质P，那么集合T={（2n+1）- x|x∈S）一定具有性质P。
首先因为T={（2n+1）-x|x∈S}，
任取t=（2n+1）-x₀∈T，其中x₀∈S，
因为SA，所以x₀∈{1，2，3，…，2n}，
从而1≤（2n+1）-x₀≤2n，即t∈A，
所以TA由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，
对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t₁= 2n+1-x₁，t₂=2n+1-x₂，
其中x₁，x₂∈S，都有|t₁-t₂|=|x₁-x₂|；
因为x₁，x₂∈S，所以有|x₁-x₂|≠m，即
|t₁-t₂|≠m，
所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性质P。