题目

题型：单选题难度：简单来源：不详

若数列{a_n}满足

a

2n

-

a

2n-1

=p（p为常数，n≥2，n∈N^*），则称数列{a_n}为等方差数列，p为公方差，已知正数等方差数列{a_n}的首项a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比数列，a₁≠a₂，设集合A={Tn|Tn=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

，1≤n≤100，n∈N*}，取A的非空子集B，若B的元素都是整数，则B为“完美子集”，那么集合A中的完美子集的个数为（　　）

A．64

B．63

C．32

D．31

答案

设数列{a_n}为正数等方差数列，p为公方差，则

a

22

-

a

21

=p，

a

23

-

a

22

=p，

a

24

-

a

23

=p，

a

25

-

a

24

=p
∴

a

25

-

a

21

=4p
∵a₁=1，∴a₂=

1+p

，a₅=

1+4p

∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴1+p=

1+4p

∴p=0或p=2
∵a₁≠a₂，∴p=2
∴a_n=

1+2(n-1)

=

2n-1

∴

1

an+an+1

=

1

2n-1 + 2n+1

=

1

2

（

2n+1

-

2n-1

）
∴Tn=

1

a1+a2

+

1

a2+a3

+…+

1

an+an+1

=

1

2

（

2n+1

-1）
∴A中的整数元素为1，2，3，4，5，6
∵A的非空子集B，若B的元素都是整数，
∴集合A中的完美子集的个数为2⁶-1=63
故选B．