题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知抛物线C：y=－x²+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。

答案

抛物线y=－x²+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤

解析

①必要性：
由已知得，线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3)
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组^*有两个不同的实数解。
消元得：x²－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
设f(x)=x²－(m+1)x+4,则有
　　
②充分性：
当3＜x≤时，
x₁=>0

∴方程x²－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x₁,x₂,且0＜x₁＜x₂≤3,方程组*有两组不同的实数解。
因此，抛物线y=－x²+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤。