题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知点P₀坐标为（1，0），将线段OP0绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；将线段OP₁绕点O顺时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，…，这样依次得到线段OP₃，OP₄，…，OP_n．则点P₂的坐标为             ；
当n=4m+1（m为自然数）时，点P_n的坐标为             ．

答案

（0，-4）；或．

解析

试题分析：根据点P₀坐标求出OP₀，然后分别求出OP₁，OP₂，OP₃，OP₄，…，OP_n，再根据点P₂在y轴负半轴写出坐标即可；分m是奇数和偶数两种情况确定出点P_n所在的象限，然后根据等腰直角三角形的性质写出坐标即可：
∵P₀的坐标为（1，0），∴OP₀=1.
∴OP₁=2，OP₂=2×2=2²， OP₃=2²×2=2³， OP₄=2³×2=2⁴，…， OP_n=2^n-1×2=2ⁿ.
∵每次旋转45°，点P₀在x轴正半轴，
∴点P₂在y轴负半轴. ∴点P₂的坐标为（0，-4）.
∵OP_n为所在象限的平分线上，∴.
①m为奇数时，点P_n在第二象限，点；
②m为偶数时，点P_n在第四象限，
综上所述，点P_n的坐标为或．