题目

题型：北京期末题难度：来源：

现有一宽为40厘米的矩形铁皮，用它可以冲出3个扇形，加工成3个底面半径为10厘米，母线长为20厘米的无底面圆锥（不计接缝损失）
（1）计算此圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）按照题目要求在下图中画出使铁皮能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形铁皮的长至少为多少厘米。

答案

解：（1）设圆心角的度数为n°，则所以n=180，所以此扇形的圆心角度数为180°；
      （2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形是半径为20厘米的半圆。如图1所示。当三个半圆所在的圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使铁皮得以充分利用。如图2，连结
 因为⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，
所以
过O3作O3E⊥O1O2于E
所以
在ΔO1EO3中，∠O1EO3=90°
根据勾股定理
因为四边形ABCD是矩形
所以AD//BC，AD=BC，∠A=∠D=90°
因为
所以四边形是矩形
所以
所以O₁E//DO₃
又因为
所以四边形是平行四边形
所以
所以
因此矩形铁片的长至少为厘米。