题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程；（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；
（2）如图②所示是一个底面半径为，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程。

答案

解：（1）易知

即蚂蚁爬行的最短路程为5；（2）连结AA′，则AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程，设为圆锥底面半径，为侧面展开图（扇形）的半径，则，由题意得：
即，
∴
∴是等边三角形，
∴最短路程为；（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC⊥PA′于点C，则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程，
∴
∴蚂蚁爬行的最短距离为。