题目
题型:不详难度:来源:
答案
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
(x-104)2+(y+104)2=2×1042
这是一个以(104,-104)为圆心,104
2 |
x-104 | ||
104
|
y+104 | ||
104
|
x=104
2 |
2 |
2 |
2 |
x、y都是正整数,那么104(sinθ+1)和104(cosθ-1)同时为正整数
sinθ>-
| ||
2 |
| ||
2 |
2 |
(1)分母为2:(
| ||
2 |
| ||
2 |
A2+B2=2
A=±1,B=±1,(舍去)
(2)分母为4:(
| ||
4 |
| ||
4 |
A2+B2=8
A=±2,B=±2,(舍去)
(3)分母为8:(
| ||
8 |
| ||
8 |
A2+B2=32
A=±4,B=±4,(舍去)
(4)分母为13:(
| ||
13 |
| ||
13 |
A2+B2=
169 |
2 |
(5)分母为26:(
| ||
26 |
| ||
26 |
A2+B2=338
A=±7,B=±17,或者A=±17,B=±7,(舍去)
所以x=160,y=32或者x=48,y=32符合
(6)分母为52:(
| ||
52 |
| ||
52 |
A2+B2=1352
A=±14,B=±34,或者A=±26,B=±26,(舍去)
或者A=±34,B=±14,(舍去)
所以x=160,y=32或者x=48,y=32符合.
方法2:x2+y2=208(x-y)
x2-208x+1042+y2+208y+1042=2×1042
(x-104)2+(y+104)2=2×1042
∵2×1042是偶数,(x-104),(y+104)有相同的奇偶性
∴x,y具有相同的奇偶性
∵x2+y2=208(x-y)
∴x,y均为偶数
令x=2a,y=2b,则(a-52)2+(b+52)2=2×522,a2+b2=104(a-b)
同理,令a=2c,b=2d,则(c-26)2+(d+26)2=2×262,c2+d2=52(c-d)
令c=2s,d=2t,则(s-13)2+(t+13)2=2×132,(s,t为正整数)
可得正整数解只有(s-13)2=72,(t+13)2=172
即s=20或6,t=4
故x=8s=160或48,y=8t=32
核心考点
举一反三
(1)试用x,y,z这3个字母表示a; (不能出现字母b,c)
(2)试说明:
a |
1+a |
b |
1+b |
c |
1+c |
x |
2 |
y |
3 |
z |
4 |
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