题目

题型：不详难度：来源：

某校一间宿舍里住有若干位学生，其中一人担任舍长．元旦时，该宿舍里的每位学生互赠一张贺卡，并且每人又赠给宿舍楼的每位管理员一张贺卡，每位宿舍管理员也回赠舍长一张贺卡，这样共用去了51张贺卡．问这间宿舍里住有多少位学生．

答案

设有x个学生，y个管理员．
该宿舍每位学生与赠一张贺卡，那么每个人收到的贺卡就是x-1张，那么总共就用去了x（x-1）张贺卡；
每个人又赠给每一位管理员一张贺卡，那么就用去了xy张贺卡；
每位管理员也回赠舍长一张贺卡，那么就用去了y张贺卡；
∴x（x-1）+xy+y=51，
∴51=x（x-1）+xy+y=x（x-1）+y（x+1）≥x（x-1）+x+1=x²+1（当y=1时取“=”），
解得，x≤7；
x（x-1）+（x+1）y=51
∵51是奇数，而x和x-1中，有一个是偶数，
∴x（x-1）是偶数，
∴（x+1）y是奇数，
∴x是偶数，
而x≤7，所以x只有2 4 6三种情况；
当x=2时，y=

49

3

（不是整数，舍去）；
当x=4时，y=

39

5

（不是整数，舍去）；
当x=6时，y=3．
所以这个宿舍有6个学生．