题目
题型:不详难度:来源:
(1)试说明:BP=DP;
(2)如图2,若正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请画图用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与正方形PECF的两个顶点连接,使得到的两条线段在正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等,并证明你的结论;
(4)旋转的过程中AP和DF的长度是否相等?若不等,直接写出AP:DF=______;
(5)若正方形ABCD的边长是4,正方形PECF的边长是1.把正方形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中,△PBD的面积是否存在最大值、最小值?如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由.
答案
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAP=∠DAP=45°;
又∵AP=AP,
∴△BAP≌△DAP,
∴BP=PD.
(2)BP、PD不会总相等;理由如下:
如图2,连接AP;
当P不在直线AC上时,∠BAP≠∠DAP,
∴△BAP与△DAP不全等,故BP≠PD.
(3)选连接DF、BE;
证明:①当P在线段AC上时,由于CF=CE,BC=CD;
则DF=BE=BC-CE=CD-CF;
②当P不在直线AC上时,连接BE、DF;
∵BC=CD、CF=CE、∠BCE=∠DCF(旋转角),
∴△DCF≌△BCE,即BE=DF;
③当P在线段AC的延长线上时,证法同①;
综上可知:连接DF、BE,则DF、BE的长总相等.
(4)连接AP、PC;
∵四边形ABCD、四边形CFPE都是正方形,
∴
CF |
CP |
CD |
AC |
1 | ||
|
又∵∠ACP=∠DCF=45°-∠ACF,
∴△ACP∽△DCF,得:AP:DF=
2 |
(5)连接BD,由于BD是定值,而P到直线BD的距离随正方形FPEC的旋转而改变,因此△PBD的面积不是定值;
①如图①,当P在线段AC上时,P到直线BD的距离最小,此时△PBD的面积最小;
易知:OC=2
2 |
2 |
2 |
∴△PBD的面积:Smin=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
②如图②,当P在线段AC的延长线上时,P到直线BD的距离最大,此时△PBD的面积最大
易知此时:OP=OC+CP=3
2 |
∴△PBD的面积:Smax=
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
综上可知:△PBD的面积存在最大和最小值;
且最大值为12,最小值为4.
核心考点
试题【如图1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F.(1)试说明:BP=DP;(2)如图2,若正方形PECF】;主要考察你对图形的旋转等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.点A是旋转中心 | B.∠DAC是一个旋转角 |
C.AB=AC | D.△ABD≌△ACE |
(1)如图1,若连接AA1,BB1,则
BB1 |
AA1 |
(2)如图2,连接AB1、BA1,判断S△ACB1与S△A1CB的大小关系,并说明你的理由;
(3)如图3,设AB的中点为O,A1B1的中点为P,当θ=______时,OP⊥A1C.
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