题目

题型：不详难度：来源：

在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2）．C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是______，△ABC的面积是______；
（2）将△ABC绕点C旋转180°得到△A₁B₁C₁，连接AB₁、BA₁，试判断四边形AB₁A₁B是何种特殊四边形，请说明理由；
（3）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

答案

（1）（1，1），4；

（2）四边形AB₁A₁B是矩形．
∵AC=A₁C，BC=B₁C，AC=BC
∴AA₁=BB₁
∴四边形AB₁A₁B是矩形

（3）∵S_△ABC=S_梯形ABDE+S_矩形BDCF-（S_△AEC+S_△BCF）=

1

2

×（1+3）×2+3×1-

1

2

×1×3-

1

2

×1×3=4，
∴四边形ABOP的面积等于8．
同（1）中的方法得到三点A，B，O构成的面积为6．当P在O左边时，△APO的面积应为2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；
当P在O右边时，△BOP的面积应为2，高为2，所以底边长为2，此时P坐标为（2，0）．
故点P的坐标为（2，0），（-1，0）．