题目
题型:不详难度:来源:
⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=∠ABC ,试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系?请写出猜想,并给予证明.
⑵ 如图3,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC+∠ADC=180°,点M、N分别在DA、CD的延长线上,若∠MBN=∠ABC,试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系?请直接写出猜想,不需证明.
答案
解析
如图,∵BC∥AD,AB=BC=CD,∴梯形ABCD是等腰梯形。
∴∠A+∠BCD=180°。
把△ABM绕点B顺时针旋转到△CBM′,
则AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,
∴∠BCM′+∠BCD=180°。∴点M′、C、M三点共线。
∵∠MBN=∠ABC,
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△BMN和△BM′N中,∵ BM="BM′" ,∠MBN=∠M′BN, BN=BN,
∴△BMN≌△BM′N(SAS),∴MN=M′N。
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN,∴MN=AM+CN。
(2)MN=CN-AM。
(1)先判定梯形ABCD是等腰梯形,根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°,再把△ABM绕点B顺时针旋转90°,点A与点C重合,点M到达点M′,根据旋转变换的性质,可得AM=CM′,BM=BM′,∠A=∠BCM′,∠ABM=∠M′BC,然后证明M′、C、N三点共线,再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等,然后根据全等三角形对应边相等即可得证。
(2)在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,然后证明∠C=∠BAM,再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等,根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′,BM=BM′,再证明∠MBN=∠M′BN,利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等,根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N,从而得到MN=CN-AM:
如图,作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°。
又∵∠BAD+∠BAM=180°,∴∠C=∠BAM。
在△ABM和△CBM′中,∵∠CBM′=∠ABM′ ,AB="BC" ,∠C=∠BAM,
∴△ABM≌△CBM′(ASA)。∴AM=CM′,BM=BM′。
∵∠MBN=∠ABC,
∴∠M′BN=∠ABC-(∠ABN+∠CBM′)=∠ABC-(∠ABN+∠ABM)
=∠ABC-∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△MBN和△M′BN中,∵BM="BM′" ,∠MBN=∠M′BN, BN=BN,
∴△MBN≌△M′BN(SAS)。∴MN=M′N。
∵M′N=CN-CM′=CN-AM,∴MN=CN-AM。
核心考点
试题【如图1,在正方形ABCD中,点M、N分别在AD、CD上,若∠MBN=45°,易证MN=AM+CN⑴ 如图2,在梯形ABCD中,BC∥AD,AB=BC=CD, 点】;主要考察你对轴对称等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.①② | B.①③ | C.②③ | D.①②③ |
(1)将菱形OABC先向右平移4个单位,再向上平移2个单位,得到菱形,请画出菱形,并直接写出点B1的坐标;
(2)将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90º,得到菱形OA2B2C2,请画出菱形OA2B2C2,并求出点B旋转到B2的路径长.
(1)若AB=AC,请探究下列数量关系:
①在图②中,BD与CE的数量关系是________________;
②在图③中,猜想AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若AB=k·AC(k>1),按上述操作方法,得到图④,请继续探究:AM与AN的数量关系、∠MAN与∠BAC的数量关系,直接写出你的猜想,不必证明.
A.的坐标为 | B. | C. | D. |
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