题目

题型：不详难度：来源：

有两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG其直角边长均为6（如图1所示）叠放在一起，使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点顺时针旋转，旋转角满足0＜º＜90º，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分（如图2）．

（1）在上述旋转过程中，①BH与CK有怎样的数量关系？②四边形CHGK的面积是否发生变化？并证明你发现的结论．
（2）如图，连接KH，在上述旋转过程中，是否存在某一位置使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，请求出此时KC的长度；若不存在，请说明理由．

答案

(1) ①BH=CK，②不变；（2）x=2或x=4

解析

试题分析：（1）先由ASA证出△CGK≌△BGH，再根据全等三角形的性质得出BH=CK，根据全等得出四边形CKGH的面积等于三角形ACB面积一半；
（2）根据面积公式得出，根据△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，代入得出方程即可求得结果．
（1）BH与CK的数量关系：BH=CK，理由是：
连接OC，由直角三角形斜边上中线性质得出OC=BG，

∵AC=BC，O为AB中点，∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACG=45°，CO⊥AB，
∴∠CGB=90°=∠KGH，
∴都减去∠CGH得：∠BGH=∠CGK，
在△CGK和△BGH中，
∠KCG=∠B，CG=BG，∠KGC=∠BGH，
∴△CGK≌△BGH（ASA），
∴CK=BH，即BH=CK；
四边形CHGK的面积的变化情况：四边形CHGK的面积不变，始终等于四边形CQGZ的面积，即等于△ACB面积的一半，等于9；
（2）假设存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置．

设BH=x，由题意及（1）中结论可得，CK=BH=x，CH=CB-BH=6-x，
，
，
∵△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，
，
解得x=2或x=4，
∴存在使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的的位置，此时x的值为2或4.
点评：解答本题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．