题目

题型：浙江省期末题难度：来源：

如图，Rt△ABC中∠C=90°、∠A=30°，在AC边上取点O画圆使⊙O经过A、B两点。
（1）求证：以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
（2）下列结论正确的序号是 _________ ．（少选酌情给分，多选、错均不给分）
①AO=2CO；
②AO=BC；
③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点；
④图中阴影面积为：．

答案

解：（1）连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABO=∠OBC=30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切；
（2）连接OB，
∴OA=OB，
∴∠A=∠ABO，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OC=OB=OA，
即OA=2OC，故①正确；
∵cos∠OBC=，
∴BC=OB，
即BC=OA，
故②错误；延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴==，
∴点A、B、D将?O的三等分，
故③正确；连接OD，
则阴影部分的面积=直角三角形ODC的面积+扇形AOD的面积=，
故④正确；故答案为①③④．