题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

已知：在⊙O中，弦AB=2，CD=1，AD⊥BD。
（1）如图（1），直线AD，BC相交于点E，求∠E的度数；
（2）如果点C，D在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么，直线AD，BC相交所成锐角的大小是否改变？试就以下三种情况进行探究，并说明理由（根据需要可分别在图Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中补全图形）。
①如图Ⅰ，弦AB与弦CD交于点F；
②如图Ⅱ，弦AB与弦CD不相交；
③如图Ⅲ，点C与点B重合。

答案

解：（1）连结OD，OC，
∵AD⊥BD，
∴弦AB是⊙O的直径，
∴OD=OC==1=CD，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴ 在Rt△BD E中，∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°； （2）① 如图Ⅰ，连结OD，OC，由（1）知：
∴∠DOC=60°，
∵∠CDB=∠BOC，∠DCB=∠DOB，
而∠DBE=∠CDB+∠DCB，
∴∠DBE=∠BOC+∠DOB=∠DOC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠EDB=90°，
∴在Rt△BDE中，
∠E=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
② 如图Ⅱ，连结OD，OC，
由（1）知：∠DOC=60°，
∴∠DBC=30°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∴ 在Rt△BD E中，∠BED=90°-∠DBC=90°-30°=60°，
③ 如图Ⅲ，当点C与点B重合时，直线BE与⊙O只有一个公共点，
∴ EB为⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
又∵点C与点B重合，
∴DB=CD=1，
在Rt△ABD中，
∵，
∴∠A=30°，
∴在Rt△BD E中，∠E=90°-∠A=90°-30°=60°，
综上所述：如果C、D点在⊙O上运动，且保持弦CD的长度不变，那么直线AD、BC相交所成锐角的大小不会改变。