题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连结OP，弦CB//OP，直线PB交直线AC于点D，BD=2PA。
（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探索线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值。

答案

解：（1）连结OB，
∵BC//OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB
又∵OC=OB，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠POB=∠POA，
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB是⊙O的切线；（2）2PO=3BC（写PO=BC亦可），
证明：∵△POB≌△POA，
∴PB=PA，
∵BD=2PA，
∴BD=2PB，
∵BC//OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴，
∴2PO=3BC；（3）∵△DBC∽△DPO，
∴，
即DC=OD，
∴DC=2OC，
设OA=x，PA=y，
则OD=3x，DB=2y，
在Rt△OBD中，
由勾股定理，得（3x）²= x²+（2y）²，
即2x²= y²，
∵x>0，y>0，
∴y=x，
OP=
∴sin∠OPA=。