题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD。
（1）求C，M两点的坐标；
（2）试判断直线CM与半圆P的位置关系，并证明你的结论。
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得△QMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）联结PM，因A、B、M均在半圆P上，且AB=10，
∴PM=PA=PB=5，
∴OP=OB-PB=3，
在Rt△POM中，由勾股定理得：OM=，
M的坐标为（0，4），
∵正方形ABCD，
∴矩形OBCE，AB=CB=10，
∴CE=OB=8，
∴C的坐标为（8，10）；
（2）直线CM是半圆P的切线；
联结CM，CP，
由（1）可知，BM=OB-OM=10-4=6，
在Rt△CEM中，CM=，
∵BC=10，
∴BC=CM，
∵BP=PM，CP=CP，
∴△CMP≌△CBP，
∴∠CMP=∠CBP=90°，
∴直线CM是半圆P的切线；
（3）存在；
作M关于x轴的对称点M₁（0，-4），
联结M₁C，与x轴交于点Q，Q为所求，
可求得M₁C的解析式为：，
当y=0时，x=，
∴点Q的坐标为（，0）。