题目

题型：内蒙古自治区中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB 边上的一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=12，AD=8，求BF的长。

答案

解：（1）连结OE，
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∵⊙O与边AC 相切于点E，
∴OE⊥AE，
∴∠OEA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=∠ACB，
∴OE∥BC，
∴∠F=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）过D作DG⊥AC于G，连结BE，
∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
∵BD=BF，
∴DE=EF，
在△DEG和△FEC中，
∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF，
∴△DEG≌△FEC，
∴DG=CF，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，
∴
∴
∴
∴或（舍去）
∴BF=BC+CF=12+4=16。