题目

题型：青海省中考真题难度：来源：

已知：如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC与E，AE=2，ED=4。
（1）求证：△ABE∽△ADB；
（2）求AB的长；
（3）延长DB到F，使BF=OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由。

答案

解：（1）∵在⊙O中，AB=AC，
∴（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）
∴∠ABC=∠D（相等的弧所对的圆周角相等）
∵∠BAD=∠BAE
∴△ABE∽△ADB（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）；
（2）∵△ABE∽△ADB
∴
∵AE=2，ED=4
∴AB=2；
（3）直线FA与⊙O相切
证明：连接AO，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴在Rt△ABD中，AB²+AD²=BD²
∴BD=4
∴OB=2
∵BF=OB，AB=2
∴AB=OB=BF
∴∠FAO=90°（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形）
∵OA为半径，
AF为⊙O切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）。