题目

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图①，在△ABC中，AB=AC，O为AB的中点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E，我们可以证得DE是⊙O的切线。

（1）若点O沿AB向点B移动，以O为圆心，OB为半径的圆仍交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，AB=AC不变（如图②），那么DE与⊙O有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
（2）在（1）的条件下，若⊙O与AC相切于点F，交AB于点G（如图③），已知⊙O的半径长为3，CE=1，求AF的长。

答案

解：（1）DE与⊙O相切
理由如下：连接OD
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切。
（2）连接OD，OF
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形
∴OD=EF
设AF=x，则AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2
∵AF与⊙O相切，
∴AF²=AG·AB
即x²=（x-2）（x+4），解得x=4
∴AF的长度为4。