题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

阅读下面的材料：
如图（1），在以AB为直径的半圆O内有一点P，AP、BP的延长线分别交半圆O于点C、D，
求证：AP·AC+BP·BD=AB²。
证明：连结AD、BC，
过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，
∴点D、M在以AP为直径的圆上；
同理：M、C在以BP为直径的圆上，
由割线定理得：AP·AC=AM·AB，BP·BD=BM·BA，
所以，AP·AC+BP·BD=AM·AB+BM·AB=AB·（AM+BM）=AB²，
当点P在半圆周上时，也有AP·AC+BP·BD=AP²+BP²=AB²成立，
那么：（1）如图（2）当点P在半圆周外时，结论AP·AC+BP·BD=AB²是否成立？为什么？
（2）如图（3）当点P在切线BE外侧时，你能得到什么结论？将你得到的结论写出来。

答案

解：（1）成立；
证明：如图（2），∵∠PCM=∠PDM=90°，
∴点C、D在以PM为直径的圆上，
∴AC·AP=AM·MD，BD·BP=BM·BC，
∴AC·AP+BD·BP=AM·MD+BM·BC，
由已知，AM·MD+BM·BC=AB²，
∴AP·AC+BP·BD=AB²；
（2）如图（3），过P作PM⊥AB，
交AB的延长线于M，连结AD、BC，
则C、M在以PB为直径的圆上，∴AP·AC=AB·AM，①
D、M在以PA为直径的圆上，∴BP·BD=AB·BM，②
由图象可知：AB=AM-BM，③
由①②③可得：AP·AC-BP·BD=AB·（AM-BM）=AB²。