题目

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；
（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q，O，A，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，此时AB=4；
（2）设存在符合条件的点Q，
如图①，设四边形APOQ为平行四边形；
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（，-）；
如图②，设四边形APQO为平行四边形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠BQO=45°，
得Q点坐标为（-，），
∴符合条件的点Q的坐标为（，-）或（-，）。