题目

题型：江苏期末题难度：来源：

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB。
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=4，∠ACB=60°，求⊙O的半径。

答案

解：（1）连结OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
即∠PAO=∠PBO，
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB，
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线；
（2）连结OP，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，
又∵BC⊥AB，
∴PO∥BC，
∴∠AOP=∠ACB=60°，
在Rt△APO中，tan∠AOP=，
∴AO=。