题目

题型：同步题难度：来源：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的点O为圆心，OB的长为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D．
（1）求证：BC=CD；
（2）求证：∠ADE=∠ABD；
（3）设AD=2，AE=1，求⊙O直径的长．

答案

（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD．
（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．
（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．
∴=．
∴=．
∴BE=3．
∴所求⊙O的直径长为3．