题目

题型：不详难度：来源：

如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ACB=45°，∠ABC=120°，⊙O的半径为1，
（1）求弦AC、AB的长；
（2）若P为CB的延长线上一点，试确定P点的位置，使PA与⊙O相切，并证明你的结论．

答案

（1）过O作OE⊥AC于E，连接OC，
∵∠ABC=120°，则∠AOC=120°．
又∵OA=OC，
∴∠OAD=∠OCD=30°．
在Rt△AOD中，cos∠OAD=

AD

OA

，
又∵OA=1，
∴AE=OA•cos30°=

3

2

．∴AC=2AE=

3

．
在△AOB中，OA=OB=1，∠AOB=2∠ACB=90°，∴AB=

2

．

（2）过P作PF⊥AB于F，设BF=a，
∵∠ABP=180°-∠ABC=60°，
∴∠BPF=30°．∴BP=2BF=2a．
在Rt△BPF中，PF=

BP2-BE2

=

3

a．
∵PA切⊙O于A，∴∠OAP=90°．
∵∠OAB=45°，∴∠PAF=45°．
在Rt△PAF中，AE=PF=

3

a，
又∵AF+FB=AB=

2

，
∴a+

3

a=

2

，
解a=

6 - 2

2

．
∴PB=2a=

6

-

2

．