题目
题型:不详难度:来源:
(1)连接O1F,O1D,DF,O2F,O2E,EF,证明:△DO1F≌△FO2E;
(2)如图二,过点A分别作半圆O1和半圆O2的切线,交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q,连接PQ,若∠ACB=90°,DB=5,CE=3,求线段PQ的长;
(3)如图三,过点A作半圆O2的切线,交CE的延长线于点Q,过点Q作直线FA的垂线,交BD的延长线于点P,连接PA.证明:PA是半圆O1的切线.
答案
∵O1,O2,F分别是AB,AC,BC边的中点,
∴O1F∥AC且O1F=AO2,O2F∥AB且O2F=AO1,
∴∠BO1F=∠BAC,∠CO2F=∠BAC,
∴∠BO1F=∠CO2F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点,
∴O1F=AO2=O2E,O2F=AO1=O1D,
∠BO1D=90°,∠CO2E=90°,
∴∠BO1D=∠CO2E.
∴∠DO1F=∠FO2E.
∴△DO1F≌△FO2E;
(2)如图二,延长CA至G,使AG=AQ,连接BG、AE.
∵点E是半圆O2圆弧的中点,
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE=∠EAC=45°,AC=
AE2+CE2 |
2 |
∵AQ是半圆O2的切线,
∴CA⊥AQ,
∴∠CAQ=90°,
∴∠ACE=∠AQE=45°,∠GAQ=90°,
∴AQ=AC=AG=3
2 |
同理:∠BAP=90°,AB=AP=5
2 |
∴CG=6
2 |
∴△AQP≌△AGB.
∴PQ=BG,
∵∠ACB=90°,
∴BC=
AB2-AC2 |
2 |
∴BG=
GC2+BC2 |
26 |
∴PQ=2
26 |
(3)如图三,设直线FA与PQ的垂足为M,过C作CS⊥MF于S,过B作BR⊥MF于R,连接DR、AD、DM.
∵F是BC边的中点,∴S△ABF=S△ACF.
∴BR=CS,
由(2)已证∠CAQ=90°,AC=AQ,
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
同理:∠2=∠4,
∴△AMQ≌△CSA,
∴AM=CS,
∴AM=BR,
同(2)可证AD=BD,∠ADB=∠ADP=90°,
∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上,A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上,
且∠DBR+∠DAR=180°,
∴∠5=∠8,∠6=∠7,
∵∠DAM+∠DAR=180°,
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM,
∴∠5=∠9,
∴∠RDM=90°,
∴∠5+∠7=90°,
∴∠6+∠8=90°,
∴∠PAB=90°,
∴PA⊥AB,又AB是半圆O1直径,
∴PA是半圆O1的切线.
核心考点
试题【如图一,在△ABC中,分别以AB,AC为直径在△ABC外作半圆O1和半圆O2,其中O1和O2分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点,点D和点E分别为两个半圆圆弧】;主要考察你对直线与圆位置关系等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:直线AB是⊙O的切线;
(2)试猜想BC,BD,BE三者之间的等量关系,并加以证明.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AE=2,DE=1cm,求BD的长.
(1)求证:DE与⊙O相切;
(2)求证:OF=
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