题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB。
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC=，求证：△ACD∽△OCB。

答案

解：（1）连接OA ，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB= ∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°；
（2）过O作OE⊥AB于E，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt △OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE= OB=2，
由勾股定理得：BE=2=AE ，
即AB=2AE=4，
∵AC=2，
∴BC=2，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA= ∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2 ，AC=BC=2，
∴=，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）。