题目

题型：北京中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段），已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上。
（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；
（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；
（3）已知□AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。

答案

解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，如图1，
∵点D在以AB为直径的半圆上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，
∵AE∥BF，
∴两条射线AE、BF所在直线的距离为；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是b=或-1＜b＜1；
当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b＜；（3）假设存在满足题意的平行四边形AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：
①当点M在射线AE上时，如图2，
∵AMPQ四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的上方，
∴PQ两点都在弧AD上，且不与点A、D重合，
∴0＜PQ＜
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜
∴-2＜x＜-1，
②当点M不在弧AD上时，如图3，
∵点A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，
∴直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形，
③当点M在弧BD上时，设弧DB的中点为R，
则OR∥BF，
（i）当点M在弧DR上时，如图4，
过点M作OR的垂线交弧DB于点Q，垂足为点S，可得S是MQ的中点，
连结AS并延长交直线BF于点P，
∵O为AB的中点，可证S为AP的中点。
∴四边形AMPQ为满足题意的平行四边形，
∴0≤x＜
（ii）当点M在弧RB上时，如图5，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时不存在满足题意的平行四边形，
④当点M在射线BF上时，如图6，
直线PQ必在直线AM的下方，
此时，不存在满足题意的平行四边形，
综上，点M的横坐标x的取值范围是-2＜x＜-1或0≤x＜。