题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上取一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H。
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长。

答案

解：（1）连结AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC
∴∠DAC=∠EBC，
又∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH； （2）∵∠BDA=180°-∠ADC = 90°
∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD。
∵BD=8，
∴AD=8，
又∵∠ADC=90°
AC=10，
∴由勾股定理DC==6
∴BC=BD+DC=8+6=14，
又∵∠BGC=∠ADC=90°
∠BCG=∠ACD，
∴△BCG∽△ACD
∴ 
∴ 
∴CG=，
连结AE，
∵AC是直径，
∴∠AEC=90°，
又因EG⊥AC，
∴△CEG∽△CAE，
∴，
∴CE²=AC·CG=×10=84，
∴CE==2。