题目

题型：期末题难度：来源：

已知：如图，⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延长线于D，OC交AB于E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：AC²=AD·CE；
（3）求的值。

答案

解：（1）如图1，连结OB，
∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC=45°，
∴∠BOC=2∠BAC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AD∥OC，
∴∠D=∠OCB=45°；
（2）∵∠BAC=45°，∠D=45°，
∴∠BAC=∠D，
∵AD∥OC，
∴∠ACE=∠DAC，
∴△ACE∽△DAC，
∴
∴AC²=AD·CE；
（3）如图2，延长BO交DA的延长线于F，连结OA，
∵AD∥OC，
∴∠F=∠BOC=90°，
∵∠ABC=15°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=30°，
∵OA=OB，
∴∠FOA=∠OBA+∠OAB=60°，∠OAF=30°，
∴，
∵AD∥OC，
∴△BOC∽△BFD，
∴，
∴，即的值为2。