题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD。
（1）求证：AE平分∠DAC；
（2）若AB=3，∠ABE=60°，①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

答案

解：（1）证明：∵CD切⊙O于E，
∴∠3=∠4
∵AB是直径，
∴∠AEB=90 °，
又∵AD⊥CD，
∴∠D=90 °，
∴∠1+∠3=90°=∠2+∠4， 而∠3=∠4，
∴∠1=∠2，即AE平分∠DAC；
（2）①Rt△ABE中，AE=ABsin∠4=3×sin60°=，
Rt△AED中，AD=AEsin∠3=×sin60°=；
②连结OE，则有∠AOE=2∠4=120°，
∴，
Rt△ABE中，∠2=90°-∠4=30°，
作EH⊥AB于点H，则EH=AEsin30°=，
∴，
∴。