题目

题型：不详难度：来源：

如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，点C在⊙O上，连接BC，CA=CD，BC=BD=6．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

答案

（1）证明：∵CA=CD，
∴∠A=∠D（等边对等角）．
∵BC=BD=6，
∴∠D=∠BCD（等边对等角），
∴∠A=∠BCD．
又∠D=∠D，
∴△ACD∽△CBD；

（2）直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠ACO⊥∠BCO=90°．
∵OA=OC（⊙O的半径），
∴∠A=∠OCA（等边对等角）．
又∵∠A=∠BCD，
∴∠BCD=∠ACO（等量代换），
∴∠BCD+∠BCO=90°，即∠DCO=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD与⊙O相切．