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题目
题型:不详难度:来源:
如图,⊙O与⊙P相交于B、C两点,BC是⊙P的直径,且把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧,A是
BmC
上的动点(不与B、C重合),连接AB、AC分别交⊙P于D、E两点.
(1)当△ABC是锐角三角形(图①)时,判断△PDE的形状,并证明你的结论;
(2)当△ABC是直角三角形、钝角三角形时,请你分别在图②、图③中画出相应的图形(不要求尺规作图),并按图①标记字母;
(3)在你所画的图形中,(1)的结论是否成立?请就钝角的情况加以证明.
答案
(1)△PDE是等边三角形,连DC.
∵弦BC把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧,
BC
的度数为120°,
∴∠BAC=60°
又∵BC为⊙P的直径,∴∠BDC=90°,
又∵∠A=60°,
∴∠DCA=30°,
∴∠DPE=60°
又∵PD=PE,
∴△PDE是等边三角形;

(2)如图②、图③即为所画图形;

(3)图②和图③中△PDE仍为等边三角形.
证明:如图③,连接BE、DC
∵BC为⊙P的直径,
∴∠BDC=90°
又∵∠A=60°,
∴∠ACD=30°
又∵四边形DBEC是⊙P的内接四边形,
∴∠DBE=∠DCA=30°,∠DPE=60°
又∵PD=PE,
∴△PDE是等边三角形.
核心考点
试题【如图,⊙O与⊙P相交于B、C两点,BC是⊙P的直径,且把⊙O分成度数的比为1:2的两条弧,A是BmC上的动点(不与B、C重合),连接AB、AC分别交⊙P于D、E】;主要考察你对圆的基本性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,CD是⊙O的直径,A、B是⊙O上的两点,若∠ABD=20°,则∠ADC的度数为(  )
A.40°B.50°C.60°D.70°

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如图,⊙O的半径为1,AB是⊙O的一条弦,且AB=


3
,则弦AB所对圆周角的度数为(  )
A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

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小明学习了垂径定理,做了下面的探究,请根据题目要求帮小明完成探究.
(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在⊙0中,C是劣弧AB的中点,直线CD⊥AB于点E,则AE=BE.请证明此结论;
(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线,成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB组成⊙0的一条折弦.C是劣弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE=PE+PB.可以通过延长DB、AP相交于点F,再连接AD证明结论成立.请写出证明过程;
(3)如图3,PA.PB组成⊙0的一条折弦,若C是优弧AB的中点,直线CD⊥PA于点E,则AE,PE与PB之间存在怎样的数量关系?写出结论,不必证明.
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如图所示,在⊙O中,AB是直径,CD是一条弦,ABCD,圆周角∠CAD=30°,AB=10cm,则弦CD的长是______.
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如图,⊙O的弦AB平分半径OC,交OC于P点,已知PA和PB的长分别是方程x2-12x+24=0的两根,则此圆的直径为(  )
A.8


2
B.6


2
C.4


2
D.2


2

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