题目

题型：不详难度：来源：

如图，⊙P与轴相切于坐标原点O（0，0），与轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标；                 
（2）若AC=, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同
一圆上，记这个圆的圆心为，函数的图象经过点，求的值（用含的代数式表示）．                 
  

答案

（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽Rt△ABO，
∴，即，
∴ ，  ∴
解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4，
过C作CE⊥OA于点E，则：，

即：，∴，
∴  ∴，
设经过A、C两点的直线解析式为：．
把点A（5，0）、代入上式得：
 ，   解得：，
∴ ，  ∴点 ．4分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点，                           ∴，
∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上；    ···········6分
由上可知，经过点O、P、C、D的圆心是DP的中点，圆心，
由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴，求得：AB=，在Rt△ABO中，
，OD=，
∴，点在函数的图象上，
∴，     ∴．

解析

（1）此题有两种解法：
解法一：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求证Rt△AOC∽Rt△ABO，利用其对应变成比例求得OB即可；
解法二：连接OC，根据OA是⊙P的直径，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，过C作CE⊥OA于点E，分别求得CE、0E，设经过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b．把点A（5，0）、代入上式解得即可．
（2）连接CP、CD、DP，根据OC⊥AB，D为OB上的中点，可得，求证Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，可得PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O₁是DP的中点，圆心，由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，可得，求得：AB、OD即可．