题目
题型:不详难度:来源:
(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
(2)当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),(1)中结论还成立吗?证明你的结论;
(3)当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,证明:AB=4PD.
答案
(2)(1)中的结论PO∥BC成立。理由为:
由折叠可知:△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO。
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。∴∠A=∠CPO。
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角,∴∠A=∠PCB。∴∠CPO=∠PCB。
∴PO∥BC。
(3)证明:∵CD为圆O的切线,∴OC⊥CD。
又∵AD⊥CD,∴OC∥AD。∴∠APO=∠COP。
由折叠可得:∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP。
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO。∴∠A=∠APO=∠AOP。∴△APO为等边三角形。
∴∠AOP=60°。
又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°。
又∵OC=OB,∴△BC为等边三角形。∴∠COB=60°。
∴∠POC=180°﹣(∠AOP+∠COB)=60°。
又∵OP=OC,∴△POC也为等边三角形。∴∠PCO=60°,PC=OP=OC。
又∵∠OCD=90°,∴∠PCD=30°。
在Rt△PCD中,PD=PC,
又∵PC=OP=AB,∴PD=AB,即AB=4PD。
解析
【分析】(1)由折叠可得,由∠AOP=∠POC ;因为∠AOC和∠ABC是弧所对的圆心角和圆周角,根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质,得∠AOP=∠ABC;根据同位角相等两直线平行的判定,得PO与BC的位置关系是平行。
(2)(1)中的结论成立,理由为:由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等,根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO,再由OA=OP,利用等边对等角得到∠A=∠APO,等量代换可得出∠A=∠CPO,又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB,再等量代换可得出∠COP=∠ACB,利用内错角相等两直线平行,可得出PO与BC平行。
(3)由CD为圆O的切线,利用切线的性质得到OC⊥CD,又AD⊥CD,利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC∥AD,根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP,再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP,等量代换可得出∠APO=∠AOP,再由OA=OP,利用等边对等角可得出一对角相等,等量代换可得出△AOP三内角相等,确定出△AOP为等边三角形,根据等边三角形的内角为60°得到
∠AOP=60°,由OP∥BC,利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°,再由OB=OC,得到△OBC为等边三角形,可得出∠COB为60°,利用平角的定义得到∠POC也为60°,再加上OP=OC,可得出△POC为等边三角形,得到内角∠OCP=60°,可求出∠PCD=30°,在Rt△PCD中,利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半,而PC=圆的半径OP=直径AB的一半,可得出PD为AB的四分之一,即AB=4PD,得证。
核心考点
试题【已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.(1)当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与B】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.6 B.5 C.3 D。
A、60° B、45° C、30° D、20°
A.相交 | B.相切 | C.相离 | D.不能确定 |
(1)求⊙D的半径;
(2)E为优弧AB一动点(不与A,B,C三点重合),EN⊥x轴于点N,M为半径DE的中点,连接MN,求证:∠DMN=3∠MNE;
(3)在(2)的条件下,当∠DMN=45°时,求E点的坐标.
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