题目
题型:不详难度:来源:
(1)求证:△PCD是等腰三角形;
(2)若点D为AC的中点,且∠F=30°,BF=2,求△PCD的周长和AG的长.
答案
(2)△PCD的周长为3;AG=6
解析
试题分析:(1)连结OC,由PF为切线可得∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,由GE⊥AB得∠GEA=90°,则∠2+∠ADE=90°,利用∠1=∠2得到∠PCD=∠ADE,根据对顶角相等得∠ADE=∠PDC,所以∠PCD=∠PDC,于是根据等腰三角形的判定定理得到△PCD是等腰三角形;
(2)连结OD,BG,在Rt△COF中根据含30度的直角三角形三边的关系可计算出OC=2,由于∠FOC=90°,∠F=30°,所以∠FOC=60°,由三角形外角性质可知∠1=∠2=30°,则∠PCD=90°﹣∠1=60°,从而△PCD为等边三角形;再由D为AC的中点,由垂径定理得到OD⊥AC,AD=CD,在Rt△OCD中,可得OD=OC=1,CD=OD=,所以△PCD的周长为3;然后在Rt△ADE中,可得DE=AD=,AE=DE=,由AB为直径得到∠AGB=90°,再证明Rt△AGE∽Rt△ABG,利用相似比可计算出AG.
试题解析:(1)连结OC,如图,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∴∠OCP=90°,即∠1+∠PCD=90°,
∵GE⊥AB,
∴∠GEA=90°,
∴∠2+∠ADE=90°,
∵OA=OC,
∴∠1=∠2,
∴∠PCD=∠ADE,
而∠ADE=∠PDC,
∴∠PCD=∠PDC,
∴△PCD是等腰三角形;
(2)连结OD,BG,如图,
在Rt△COF中,∠F=30°,BF=2,
∴OF=2OC,即OB+2=2OC,
而OB=OC,
∴OC=2,
∵∠FOC=90°﹣∠F=60°,
∴∠1=∠2=30°,
∴∠PCD=90°﹣∠1=60°,
∴△PCD为等边三角形,
∵D为AC的中点,
∴OD⊥AC,
∴AD=CD,
在Rt△OCD中,OD=OC=1,
CD=OD=,
∴△PCD的周长为3;
在Rt△ADE中,AD=CD=,
∴DE=AD=,
AE=DE=,
∵AB为直径,
∴∠AGB=90°,
而∠GAE=∠BAG,
∴Rt△AGE∽Rt△ABG,
∴AG:AB=AE:AG,
∴AG2=AE•AB=×4=6,
∴AG=6.
核心考点
试题【如图,已知AB,AC分别是⊙O的直径和弦,点G为上一点,GE⊥AB,垂足为点E,交AC于点D,过点C的切线与AB的延长线交于点F,与EG的延长线交于点P,连接A】;主要考察你对圆的认识等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.﹣2 B.﹣2 C.﹣ D.﹣
(1)求证:△CDE∽△CAD;
(2)若AB=2,AC=2,求AE的长.
(1)求证:点E是边BC的中点;
(2)求证:;
(3)当以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形时,求证:△ABC是等腰直角三角形.
(1) 试判断BE与FH的数量关系,并说明理由;
(2) 求证:∠ACF=90°;
(3) 连接AF,过A,E,F三点作圆,如图2. 若EC=4,∠CEF=15°,求的长.
图1 图2
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