题目

题型：湖南省中考真题难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ。当点P运动到原点O处时，记Q得位置为B。
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=，OC=AC=1，
即B（）；（2）不失一般性，当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，
∴△APO≌△AQB总成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值90°；（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，
∴AO与BQ不平行，
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，
又OB=OA=2，可求得BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=，
∴此时P的坐标为（-，0）；
②当点P在x轴正半轴上时，点Q在点B的上方，
此时，若AQ∥OB，四边形AOQB即是梯形，
当AQ∥OB时，∠ABQ=90°，∠QAB=∠ABO=60°，
又AB= 2，可求得BQ=2，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2，
∴此时P的坐标为（2，0），
综上所述，P的坐标为（-，0）或（2，0）。