题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点C是OA的中点，CD⊥OA交半圆于点D，点E是的中点，连接AE、OD，过点D作DP∥AE交BA的延长线于点P。
（1）求∠AOD的度数；
（2）求证：PD是半圆O的切线。

答案

解：（1）∵点C是OA的中点，
∴OC=OA=OD，
∵CD⊥OA，
∴∠OCD=90°，
在Rt△OCD中，cos∠COD=，
∴∠COD=60°，即∠AOD=60°；（2）连接OE，
∵点E是的中点，
∴，
∴∠BOE=∠DOE=∠DOB=（180°-∠COD） =（180°-60°）=60°，
∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
又∠EAO+∠AEO=∠EOB=60°，
∴∠EAO=30°，
∵PD∥AE，
∴∠P=∠EAO=30°，
由（1）知∠AOD=60°，即∠POD=60°，
∴∠PDO=180°-（∠P+∠POD）=180°-（30°+60°）=90°，
∴PD是半圆O的切线。