题目
题型:陕西省中考真题难度:来源:
(1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图②中画出弦AB,CD,使图②仍为中心对称图形;
(2)如图③,在⊙O中,AB=CD=m(0<m<2R),且AB与CD交于点E,夹角为锐角α,求四边形ACBD的面积(用含m,α的式子表示);
(3)若线段AB,CD是⊙O的两条弦,且AB=CD=R,你认为在以点A,B,C,D为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形?请利用图④说明理由。
答案
(2)过点A,B分别作CD的垂线,垂足分别为M,N,
∵S△ACD=CD·AM=CD·AE·sinα,
S△BCD=CD·BN=CD·BE·sinα,
∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD
=CD·AE·sinα+CD·BE·sinα
=CD·(AE+BE)sinα
=CD·AB·sinα
=m2·sinα;
(3)存在.分两种情况说明如下:
①当AB与CD相交时,
由(2)及AB=CD=R知S四边形ACBD=AB·CD·sinα=R2sinα,
②当AB与CD不相交时,如图④.
∵AB=CD=R,OC=OD=OA=OB=R,
∴∠AOB=∠COD=90°,
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC
=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E,连接EC,则∠1+∠3=∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠2,
∴△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△OCE,
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE,垂足为H,
则S△BCE=BE·CH=R·CH,
∴当CH=R时,S△BCE取最大值R2
综合①、②可知,当∠1=∠2=90°.即四边形ABCD是边长为R的正方形时,
S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值。
核心考点
试题【如图,⊙O的半径均为R。(1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图②中画出弦AB,CD,使图②仍为中心对称图形;(2)如图③】;主要考察你对解三角形等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求∠B的度数;
(2)若∠ACP=2∠B,求光源A距水平面的高度(答案用含根号的式子表示)。
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