题目

题型：福建省中考真题难度：来源：

已知□ABCD ，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 在边AD 上，过点P 分别作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE＝PF。
（1）如图10，若PE＝，EO＝1，求∠EPF的度数；  
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF ＝BC＋3－4，求BC的长。

答案

（1 ）解：连结PO，
PE＝PF，PO＝PO，PE⊥AC、PF⊥BD，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO，
∴∠EPO＝∠FPO，
在Rt△PEO中，      
tan∠EPO=，
∠EPO＝30°，
∴∠EPF ＝60°；
（2）∵点P 是AD 的中点，
∴AP＝DP，
又∵ PE＝PF，
∴Rt △PEA≌Rt △PFD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴OA＝OD，
∴ AC＝2OA ＝2OD ＝BD，
∴□ABCD是矩形，
∵点P 是AD的中点，点F是DO的中点，
∴AO∥PF，
∵PF⊥BD，
∴AC⊥BD，
∴□ABCD是菱形，
∴□ABCD是正方形，
∴ BD＝BC，
∵BF＝BD，
∴BC＋3－4＝BC，
解得，BC＝4