题目

题型：中考真题难度：来源：

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E。
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若∠B=60°，CD=，求AE的长。

答案

解：（1）如图1，连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴ ∠OCD＝90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝90°，
∴ ∠OCD＋∠ADC＝180°，
∴ AD∥OC，
∴ ∠1＝∠2，
∵ OA＝OC，
∴ ∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3，即AC平分∠DAB；
（2）如图2，∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB＝90°，
又∵ ∠B＝60°，
∴ ∠1＝∠3＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝，
∴ AC＝2CD＝，
在Rt△ABC中，AC＝，
∴ AB=，
连接OE，
∵∠EAO＝2∠3＝60 °，OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∴AE＝OA＝AB＝4。