题目

题型：不详难度：来源：

现在各地房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．我市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）．
       
太阳高度角       不影响采光          稍微影响            完全影响
（1）我市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度。
了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？
（2）有关规定：平行布置住宅楼，其建筑间距应不小于南侧建筑高度的1.2倍；按照此规定，是否影响北侧住宅楼住户的全年的采光？若有影响，试求哪些楼层的住户受到影响？（本题参考值：sin81.4º="0.99," cos81.4º="0.15," tan81.4º=6.61;sin34.88º="0.57," cos34.88º="0.82," tan34.88º=0.70）

答案

（1）78.6米;（2）北侧住宅楼1至3楼的住户的采光受影响，4楼及4楼以上住户不受影响.

解析

试题分析：本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．(1) 过点C作CE⊥AB，垂足为E，利用三角函数求出CE的宽度即是两楼间的间距.若求采光是否受影响.应求阳光照到墙上多高，决定几楼是否受影响.
（2）在直角三角形ACE中，由正切函数可得AE的长，进一步得到CD的长，从而求解．
试题解析：(1) 如图所示：
            
AC为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的34.88度，即∠ACE=34.880，楼高AB为2.80×20=56米，窗台CD高为1米；过点C作CE垂直AB于点E，所以AE=AB－BE=AB－CD=55米；
在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：BD=CE= 即：两栋住宅楼的楼间距至少为78.6米。
(2) 利用（1）题中的图：此时∠ACE=34.88⁰，楼高AB=2.80×20=56米，楼间距BD=CE
=AB×1.2=67.2米；
在直角三角形ACE中，由tan∠ACE=，得：AE=CE×tan∠ACE=67.2×0.70=47.04m
则CD=BE=AB－AE=8.96m
而 8.96-2.8×3=0.56＜1，故北侧住宅楼1至3楼的住户的采光受影响，4楼及4楼以上住户不受影响。