题目

题型：不详难度：来源：

在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达雪描实验.如图，表盘是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同的旋转速度返回A、B，到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现，光线从AB处开始旋转计时，旋转1秒， 时光线AP交BC于点M，BM的长为（）cm.
（1）求AB的长；
（2）从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时AP与BC边交点在什么位置？若旋转2014秒，此时AP与BC边交点在什么位置？并说明理由.

答案

（1）AB的长为40cm；
（2）光线AP旋转6秒，与BC的交点距点Bcm处，光线AP旋转2014秒后，与BC的交点在距点Bcm处．

解析

试题分析：（1）过A点作AD⊥BC，垂足为D．令AB=2tcm．在Rt△ABD中，根据三角函数可得AD=t，BD=t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到关于t的方程，求得t的值，从而求得AB的长；
（2）当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，在Rt△ABN中，根据三角函数可得BN；设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．求得CQ=80，BC=40．根据BQ=BC-CQ即可求解．
试题解析：（1）如图1，过A点作AD⊥BC，垂足为D．

因为∠BAC=120°，AB=AC，
所以∠ABC=∠C=30°．
令AB=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=AB=t，BD=AB=t．
在Rt∠AMD中，因为∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
所以MD=AD=t．
因为BM=BD-MD．即
=t -t．
解得t=20．
所以AB=2×20=40cm．
答：AB的长为40cm；
（2）如图2，当光线旋转6秒，
设AP交BC于点N，此时∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN==．
所以光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点Bcm处．
如图3，设光线AP旋转2014秒后光线与BC的交点为Q．

由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋转2014秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q．
易求得CQ=，BC=40．
所以BQ=BC-CQ=40-=．
所以光线AP旋转2014秒后，与BC的交点Q在距点Bcm处．