题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）．
（1）当α=60°时，求CE的长；
（2）当60°＜α＜90°时，①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．②连接CF，当CE²﹣CF²取最大值时，求tan∠DCF的值．

答案

解：（1）∵α=60°，BC=10，
∴sinα=，即sin60°==，
解得CE=5；
（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF．
理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，
∵F为AD的中点，∴AF=FD，
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠G=∠DCF，在△AFG和△CFD中，，
∴△AFG≌△CFD（AAS），∴CF=GF，AG=CD，
∵CE⊥AB，∴EF=GF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠AEF=∠G，
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，
∴AG=5，AF=AD=BC=5，∴AG=AF，∴∠AFG=∠G，
在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，
又∵∠CFD=∠AFG（对顶角相等），
∴∠CFD=∠AEF，
∴∠EFD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，
因此，存在正整数k=3，使得∠EFD=3∠AEF；
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，
∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，
在Rt△BCE中，CE²=BC²﹣BE²=100﹣x²，
在Rt△CEG中，CG²=EG²+CE²=（10﹣x）²+100﹣x²=200﹣20x，
∵CF=GF（①中已证），
∴CF²=（CG）²=CF²=（200﹣20x）=50﹣5x，
∴CE²﹣CF²=100﹣x²﹣50+5x=﹣x²+5x+50=﹣（x﹣）²+50+，
∴当x=，即点E是AB的中点时，CE²﹣CF²取最大值，
此时，EG=10﹣x=10﹣=，CE===，
所以，tan∠DCF=tan∠G===．