题目

题型：河北省期中题难度：来源：

某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电．已知居民小区A、B分别到主干线l的距离AA1=2km，BB1=1km，且A1B1=4km。
（1）如果居民小区A、B在主干线l的两旁，如图（1）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？最短线路的长度是多少千米？
（2）如果居民小区A、B在主干线l的同旁，如图（2）所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？

答案

解：（1）连接AB，AB与l的交点就是所求分支点M分支点开在此处，总线路最短。
过B作l的平行线与AA₁的延长线交于F，
设A₁M=x，则MB₁=4-x，

∵BB₁⊥l，AA₁⊥l，
∴∠BB₁M=∠AA₁M=90°，又∠AMA₁=∠BMB₁，
∴△B₁BM∽△A₁AM，
∴=，即=，
解得A₁M=x=，
在直角三角形ABF中，AF=AA₁+A₁F=2+1=3，BF=B₁A₁=4，
由勾股定理得AB==5，
所以分支点M在线段A₁B₁上且距A1点千米处，最短线路的长度为5千米；
（2）如图（2），作B点关于直线l的对称点B₂，连接AB₂交直线l于点M，
此处即为分支点，由（1）知，A₁M长度为千米。