题目

题型：福建省模拟题难度：来源：

如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，∠ABC与∠ADC互补.
（1）求∠C的度数；
（2）若BC>CD且AB=AD，请在图上画出一条线段，把四边形ABCD分成两部分，使得这两部分能够重新拼成一个正方形，并说明理由；
（3）若CD=6，BC=8，S_{四边形ABCD=}49，求AB的值.

答案

解：（1）∵∠ABC与∠ADC互补，
                ∴∠ABC+∠ADC=180°.
              ∵∠A=90°， ∴∠C=360°-90°-180°=90°；
（2）过点A作AE⊥BC，垂足为E. 则线段AE把四边形ABCD分
成△ABE和四边形AECD两部分，把△ABE以A点为旋转中心，
逆时针旋转90°，则被分成的两部分重新拼成一个正方形.
过点A作AF∥BC交CD的延长线于F，
∵∠ABC+∠ADC=180°，又∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF.
∵AD=AB，∠AEC=∠AFD=90°，
∴△ABE≌△ADF.
∴AE=AF.
∴四边形AECF是正方形；
（3）连结BD， ∵∠C=90°，CD=6，BC=8，BCD中，
        又∵S_{四边形ABCD}=49，∴S_△ABD=49-24=25.
           过点A作AM⊥BD垂足为M， ∴S_△ABD=×BD×AM=25
           .∴AM=5. 又∵∠BAD=90°，∴△ABM∽△ABD.
           设BM=x，则MD=10-x， ∴.解得x=5. ∴AB=