题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，∠A=30°，点P在AC上，∠MPN=90°。
（1）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB， PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=_____PM；
（2）当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值；
（3）当PC=PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值。

答案

解：（1）；（2）过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，
则∠PEM=∠PFN=90°，
又∠ABC=90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠MPN=90°，
∴∠MPE+∠EPN=∠NPF+∠EPN=90°
∴∠MPE=∠NPF，
∴△PFN∽△PEM，
∴，由（1）可知PF=PE，∴=；（3）在Rt△ABC中，过点P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于点F，
∴四边形BFPE是矩形，
∴∠EPF=90°，
∵∠EPM+∠MPF=∠FPN+∠MPF=90°，
可知∠EPM=∠FPN，
∴△PFN∽△PEM，
∴，
又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A=30°，∠C=60°，
∴PF=PC，PE=PA，
∴，∵PC=PA，
∴。