在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。（1）求证：BD=BF；（2 - 初中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：江西省月考题难度：来源：

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。
（1）求证：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面积。

答案

证明：（1）连接OE，
∵AC切⊙O于E，
∴OE⊥AC，
又∠ACB=90°
即BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∴∠OED=∠F，
又OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ODE=∠F，
∴BD=BF；
（2）设⊙O半径为r，由OE∥BC得△AOE∽△ABC，
∴

，
即

，
∴r²-r-12=0，
解之得r₁=4，r₂=-3（舍），
∴S_⊙O=πr²=16π。

核心考点

试题【在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F。（1）求证：BD=BF；（2】；主要考察你对相似三角形性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

如图所示，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交切线AC于点C，OC与半圆O交于点E，连接BE、DE。
（1）求证：∠BED=∠C；
（2）若OA=5，AD=8，求AC的长。

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如图①，线段PB过圆心O，交圆O于A、B两点，PC切圆O于点C，作AD⊥PC，垂足为D，连接AC、BC。（1）写出图①中所有相等的角（直角除外），并给出证明；
（2）若图①中的切线PC变为图②中割线PCN的情形，PCN与圆O交于C、N两点，AN与BC交于点M，AD⊥PN，写出图②中相等的角（写出三组即可，直角除外）；
（3）在图②中，证明AD·AB=AC·AN。